分配法則
\[\begin{aligned}\det \left(\vec{a}+\vec{d},\vec{b},\vec{c}\right)= \det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)+\det\left(\vec{d},\vec{b},\vec{c}\right)\\
\det \left(\vec{a},\vec{b}+\vec{d},\vec{c}\right)= \det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)+\det\left(\vec{a},\vec{d},\vec{c}\right)\\
\det \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}+\vec{d}\right)= \det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)+\det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{d}\right)\end{aligned}\]
スカラー倍法則
\[\begin{aligned}\det \left(\alpha\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)= \alpha\det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) \\
\det \left(\vec{a},\beta\vec{b},\vec{c}\right)= \beta\det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) \\
\det \left(\vec{a},\vec{b},\gamma\vec{c}\right)= \gamma\det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)\end{aligned}\]